martes, 27 de diciembre de 2016
sábado, 17 de diciembre de 2016
Orígenes de la Trigonometria
Los primeros estudios relacionados con la trigonometría se atribuyen a matemáticos griegos;
etimológicamente, la palabra trigonometría significa medición de triángulos. Se deriva del
vocablo griego trígono triangulo, y de metrón, medida.
La trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo. Estas se
conocen como relaciones trigonométricas y se
aplican en otros campos en lo que se requieren
medidas de precisión, como en el estudio de las esferas en la geometría del espacio. Hiparco, se
considera el padre de la trigonometría por el hallazgo de algunas relaciones entre los lados y los
ángulos de un triángulo.
En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler hizo de la trigonometría una ciencia independiente de la astronomía y la convirtió en una nueva rama de las matemáticas. La trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución de triángulos teniendo en cuenta los seis elementos principales: Los tres lados y los tres ángulos. La trigonometría no se limita al estudio
del triángulo y sus relaciones, también se emplea en la navegación; en la astronomía; en la física,
con el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, la
termodinámica, entre otros.
jueves, 1 de diciembre de 2016
Graficar el movimiento del agua con la función seno
Actividad N°2:
Situación problema:
 Figura: 2 Profundidad del Agua |
Indicadores de
desempeño:
Elabora la gráfica de la función seno
Instrucciones
generales:
A partir de la situación anterior y
utilizando la representación de la circunferencia unitaria para formar pares
ordenados en el sistema de condenadas cartesianas que pertenezcan a esta
función, representamos el gráfico de la función y = sen(t)
En consecuencia, los estudiantes
responderán las siguientes preguntas:
¿Qué podemos afirmar del movimiento del agua?
¿En qué momento
disminuye la marea, qué tanto disminuye y qué tanto aumenta?
¿Por qué podemos
decir que el comportamiento de la gráfica es cíclico?
¿Qué tipo de
funciones muestran este comportamiento en la vida real?
¿Cuál es el dominio
de esta función y cual su rango?
¿Esta función es
par o impar por qué?
¿Cuál es el periodo
de la gráfica?
Con igual
procedimiento que para la función seno, se pueden obtener pares ordenados que
per-meten representar el gráfico de la función y = cos(t)
Desarrollo de la
actividad
La propuesta
didáctica de la cual se vale la práctica, con la ayuda de la tecnología se convierte en un medio que motiva a los
estudiantes a crecer en conocimiento,
ya que los mismos viven una era digital, en
lo cual lo que es tradicional no es justamente lo que
prefieren en sus clases, aquello que sea innovador para el estudiante y le
permita vivir nuevas experiencias de aprendizaje
los motiva, contribuyendo a mejorar hábitos de estudio.
Con
el software se construyeron medios que le permitieron tanto al docente como al
estudiante poder observar en una forma clara las bondades de poder comprender
aquello que era incomprensible con representaciones estáticas. El análisis de las respuestas a las siguientes preguntas:
¿Qué podemos
afirmar del movimiento del agua?
En el comportamiento del agua se repite un
patrón de comportamiento idéntico.
¿Qué tipo de
funciones muestran este comportamiento en la vida real? El electrocardiograma
tiene el mismo comportamiento.
¿Cuál es el dominio de esta función y cual
su rango? Para toda x en el dominio de f. es el menor número real positivo k,
si existe tal número se denomina periodo de f, se tiene que los dominios de la
función seno es el conjunto de ángulos. El
rango de la función seno es el conjunto de todos los números reales en el
intervalo [-1,1].
¿Esta función es par o impar, por qué? La función seno es impar, lo que indica que
su gráfica es simétrica con respecto al
origen.
¿Cuál es el periodo de la gráfica? El
periodo es 2
Las respuestas a
las preguntas anteriores permiten afirmar que los estudiantes realizaron un
correcto aprendizaje de las funciones trigonométricas, apoyado en GeoGebra como
herramienta para la enseñanza. Que les permitió un mejor rendimiento en el
curso y para la vida.
- Las exposiciones
de los alumnos en el aula presencial demostraban el mejoramiento de sus
capacidades comunicativas - matemáticas. Mejor articulación, relación de las
teorías y conceptos en la solución de problemas. Mayor entusiasmo y mejores aportes para el
trabajo en equipo en forma presencial y virtual.
- Participación
activa y motivación en los espacios virtuales.
En cuanto a la percepción de los
estudiantes, se les plantearon las siguientes preguntas:
¿Cómo te han parecido las actividades que
hemos realizado en Geogebra?
“Me han parecido buenas,
porque la aplicación está al alcance de todos y es fácil de utilizar y es una
forma didáctica de aprender y reforzar los temas”
¿Consideras que
has aprendido?
“Sí,
porque hemos ido varias veces y nos ha servido de refuerzo para los temas”
¿Cómo
te han parecido las actividades que hemos realizado en geogebra?
Me han parecido excelentes, aunque es una aplicación muy
compleja y de mucho cuidado es muy chévere trabajarla y cambiar de un cuaderno
a una aplicación tecnológica, es una dinámica que aumenta el conocimiento y
promueve la atención del estudiante a querer saber manejarla mucho mejor, me
parece que se nos hace más cómoda, fácil y entretenida que hacerlo en un
cuaderno.
¿Consideras
que has aprendido?
Si,
Totalmente es muy bueno aprender por medio de la tecnología un tema complejo de
la materia que a la mayoría de los estudiantes se les dificulta que es la
matemática, e igual influye el profesor o profesora tener la claridad
suficiente y hasta el momento la encargada de esta materia nos ha instruido muy
bien, considero que Geogebra es una de las mejores herramientas para aprender.
|
https://youtu.be/S3ClZC3LgUY
Figura: 3 Función seno |
Vale la pena señalar que con Geogebra la gran mayoría de los estudiantes sin distinción de género, desarrollan su interés por la actividad y hay más determinación para resolver las tareas propuestas, las mujeres muestran más dedicación al trabajo es una característica más frecuente en ellas que en los hombres, la mayoría de los estudiantes mostro su creatividad.
domingo, 27 de noviembre de 2016
¿Cómo determinar la altura de una montaña?
Actividad N°1:
Situación problema.
En una llanura, desde un punto cualquiera,
se mide el ángulo A de elevación y se obtiene 43º, tras acercarnos a la montaña
200 m, se vuelve a medir el ángulo B de elevación y se obtiene 52º. ¿Cuál es la
altura de la montaña?
Indicadores de desempeño.
ü Aplica la solución de triángulos rectángulos en diversas situaciones
ü Reconoce elementos que definen el ángulo de elevación
Instrucciones generales.
En nuestra vida diaria observamos objetos e
indicamos sus posiciones utilizando referencias que nos pueden permitir una
mayor precisión al momento de ubicarnos.
Usted está en capacidad de hallar la medida de la altura de una montaña
usando el software Geogebra.
Los estudiantes deben manipular el software
y hacer las construcciones para determinar la altura de la montaña.
Luego los
estudiantes deben responder las siguientes preguntas:
¿En qué
circunstancias de la vida real se puede evidenciar un ángulo de elevación?
¿Qué son ángulos de
elevación?
¿Qué razón
trigonométrica utilizamos para resolver la situación? se podrá resolver la
situación con otra función trigonométrica?
Desarrollo de la actividad
Los estudiantes estuvieron motivados a través del desarrollo de la actividad, lo cual permitió un mejor desempeño, hubo preguntas que fueron resueltas en las presentaciones y además se planteaban situaciones de la vida real en donde ellos debían aplicar los contenidos aprendidos con excelentes resultados. Los estudiantes dieron respuesta a las preguntas planteadas entre ellas a la pregunta ¿Qué razón trigonométrica utilizamos para resolver la situación? Los estudiantes respondieron que hay dos triángulos rectángulos que comparten un lado en común h; entonces se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas donde, de ambas ecuaciones se despeja h y se obtiene la tangente, las cuales se igualan y se obtiene como resultado la altura de la montaña. Concluyen entonces que al realizar el problema con la ayuda de las Tic los ángulos de elevación son aquellos que se forman entre la visual del observador a un objeto, y que la horizontal tiene un nombre especial, y al mirar el movimiento deducen que el ángulo recibe el nombre de elevación.
Un análisis de los datos obtenidos mostró
que la introducción de la tecnología en la clase de trigonometría, junto con la
propuesta pedagógica que promueve el proyecto, implica una modificación de la
cultura en el salón de clases que lleva a cambios significativos. En cuanto al
comportamiento, los estudiantes tuvieron una buena disposición y capacidad para
analizar los problemas, mostraban tener más iniciativa en la solución del
problema, defendían mejor sus ideas y tenían una actitud más creativa al
enfrentarse a los problemas que se les planteaban.
En cuanto a la percepción de los
estudiantes, se les plantearon las siguientes preguntas:
¿Cómo te han
parecido las actividades que hemos realizado en Geogebra?
¿Consideras que has
aprendido?
Algunos de ellos, dan respuestas como
éstas:
“Me
parece muy interesante ya que por medio del geogebra he tenido nuevos conocimientos,
he aprendido lo suficiente, considero que me ha servido
para mi bienestar, ya que este tema ha sido muy útil”.
“Me
parece buena, ya que he aprendido a utilizar la matemática de una forma diferente,
a veces es poco entendible y enredado, con escucha y con práctica puede ser
productivo y muy dinámico”.
¿Consideras que has aprendido?
“En un principio que empezamos a trabajar con este
programa, no tenía el modo de practicar en mi casa, pero ya que si puedo lo he
practicado y la verdad si he aprendido, siguiendo los pasos de las explicaciones
que la profesora da en clase”.
Una de las principales contribuciones de Geogebra
al aprendizaje de los estudiantes tiene que ver con el desarrollo de una visión
más didáctica en el diseño y la planificación de tareas, los análisis de
contenido, cognitivo, de instrucción y de actuación han abierto la posibilidad
de considerar nuevas herramientas conceptuales y metodológicas que permiten
mejorar el aprendizaje, para lograr coherencia entre los objetivos de
aprendizaje y las actuaciones del profesor y los estudiantes en el aula. Por ejemplo, cuando los estudiantes abordaron
la tarea de medir la altura de la montaña, reconocieron los elementos,
relaciones y aplicaciones de las razones trigonométricas en un triángulo
rectángulo, Esto se hizo evidente en el análisis realizado.
viernes, 14 de octubre de 2016
domingo, 24 de julio de 2016
Margarita .
Crea el tuyo desde aqui!!
¿Existe algún número que no tenga nombre?
Si lees la frase “el número de días de julio”, ¿qué te viene a la cabeza? Posiblemente el número 31. ¿Y si te digo “el número de segundos que tiene un minuto”? Seguro que pensarás en el número 60. ¿Y si te pido que me describas al número 12? Pues podrías usar la frase “el número de meses del año”, o “las horas que aparecen en un reloj analógico”, o quizás “la cantidad de huevos que hay en una docena”. Hasta podrías hacerlo de forma más matemática, por ejemplo con la expresión “el resultado de multiplicar 3 por 4”.
Podemos encontrar frases para describir números naturales, pero también para negativos (“el cero absoluto” podría valer para describir al número -273), fraccionarios (“la probabilidad de sacar un número par al tirar un dado” describiría al número 1/2) y hasta irracionales (“el área de un círculo de radio 1” describe al número Pi).
Todas estas frases pueden servirnos para dar nombre a ciertos números, ya que cada una describe a un cierto número sin ningún género de duda (con la de “el resultado de multiplicar 3 por 4” podríamos debatir, pero nos entendemos). Y la cosa va de eso: de nombrar números.
Si convenimos que una frase cualquiera es un “nombre” para un cierto número si describe a dicho número sin ambigüedad, sería interesante preguntarse si todos los números tienen “nombre”. Y con "todos los números" nos referimos a todos los números reales, es decir, todos los naturales, los enteros negativos, el cero, los racionales y los irracionales (que son los que no pueden escribirse mediante una fracción con numerador y denominador enteros, como el número Pi).
¿Piensas que podrás? ¿O, por el contrario, crees que no se puede nombrar a todos los números reales? Si estás en este segundo grupo, dime un número que no se pueda nombrar, que no pueda describirse sin ambigüedad con una frase... ¡Exacto! En el momento en el que me comunicas dicho número ya lo estás describiendo sin ambigüedad mediante una frase, por lo que ya le has puesto nombre. Vamos, que no vas a ser capaz de encontrar ningún número sin nombre…
…Pero esto no significa que no existan. ¿O sí? Vamos a desvelar el misterio utilizando matemáticas que, aunque no son básicas, no serán muy complicadas de entender.
Una correspondencia entre dos conjuntos es una forma de asignar a cada elemento de uno de ellos un elemento del otro conjunto (nos quedaremos con las correspondencias en las que ningún elemento del primer conjunto se queda sin asignación). Esa correspondencia será biunívoca si a cada elemento de uno de los conjuntos le corresponde uno y sólo uno de los elementos del otro. Por ejemplo, asociar el 3 al pulgar, el 1 al índice, el 2 al corazón, el 5 al anular y el 4 al meñique es una correspondencia biunívoca entre los dedos de una mano y el conjunto de números {1,2,3,4,5}.
Por otro lado, un conjunto (infinito) de elementos cualesquiera es numerable si puede ponerse como correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales, es decir, con el conjunto {1,2,3,4,…} (no incluimos al cero, aunque si este número es o no un número natural suele generar interesantes debates).
Vayamos ahora al tema que nos ocupa. Podemos nombrar a cada número de muchas formas, pero cada frase que usemos para ese nombre tendrá, seguro, un número finito de letras (no podemos, por razones evidentes, utilizar frases con infinitas letras). Si tomamos todas las frases posibles y contamos cuántas letras (o símbolos, eso no es importante) tiene cada una, podemos formar una lista con esos números. Por ejemplo, supongamos que la primera frase que tomamos tiene 14 letras, la siguiente tiene 8, la siguiente tiene 46 y la siguiente de nuevo 8. Entonces nuestra lista comenzaría con {14,8,46,8} y, claro, seguiría con los números de letras de las siguientes frases. Entonces podemos asociar el 14 con el 1, el 8 con el 2, el 46 con el 3, el siguiente 8 con el 4, y continuar así con el resto de la lista. Esto es, asociamos cada número resultante de contar la cantidad de letras/símbolos de la frase con la posición que ocupa en la lista.
¿Qué conseguimos con esto? Pues, como muchos habréis visto ya, una correspondencia biunívoca entre todas las posibles frases que podemos usar para nombrar números y el conjunto de los números naturales. Es decir, el conjunto de los nombres de números es numerable.
Por otro lado, es bien sabido que el conjunto de los números reales no es numerable, hecho que probó Cantor a finales del siglo XIX (podéis ver demostraciones de este resultado aquí y también aquí).
El hecho de que el conjunto de los números reales sea no numerable significa, en relación con lo que nos ocupa, que al intentar poner dicho conjunto en correspondencia con los números naturales tenemos que hay números reales que no corresponden con ningún natural. Esto es, hay esencialmente más números reales que naturales. En consecuencia, hay esencialmente más números reales que nombres posibles podemos usar, por lo que hay número reales para los cuales no podemos encontrar un nombre.
Por tanto, la respuesta a la pregunta que titula este artículo es SÍ, existen números sin nombre (de hecho hay un conjunto infinito no numerable de ellos)…aunque, paradójicamente, no podremos encontrar ningún ejemplo de este tipo de números, ya que, como comentábamos antes, en el momento en el que lo describamos ya le estaremos dando nombre.
Es lo que tienen las demostraciones de existencia: nos dicen que algo está ahí, pero no nos ayudan a encontrarlo. Y, en casos como éste, hasta nos aseguran que no lo podremos encontrar.
sábado, 7 de mayo de 2016
El Origen de los NÚMEROS. Cómo y Cuándo se Creó el Número CERO.
Todo Comenzó Hace 25.000 Años
Un mundo como el actual no se entendería sin los números; están inmersos en la simple cotidianidad y son el sustento de los grandes postulados científicos.
Pero no siempre fue así: de hecho la actual numeración, del todo optimizada, es relativamente reciente; es por eso del enorme mérito que se debe atribuir a los grandes estudiosos antiguos que, en muchos casos, plantearon los primeros teoremas (que son el sustento de la actual ciencia) con unas infinitas limitaciones, comenzando por la propia numeración.
Esta es una cronología sintetizada del el origen de los números y su historia, contada de forma somera y haciendo hincapié en algunas curiosidades, como el origen y creación del número cero.
TODO COMENZÓ CON LAS MARCAS DE CUENTA
Y comenzó hace 25.000 años, al menos esa es la primera referencia arqueológica que se tiene; se trata de dos huesos encontrados en el Zaire marcados con trazos, que se supone servían para realizar operaciones básicas.
Se debe entender que el origen de los números (estas marcas de cuenta), se produjo después de que el hombre aprendiera a contar y atendiendo a esta necesidad; es lo mismo que ocurrió con la escritura y el primer alfabeto, originado tiempo después del desarrollo oral.
LA ANTIGUA BABILONIA Y SUS NUMERALES
En la antigua babilonia se creó el primer sistema sexagesimal de numeración, compuesto de 59 caracteres basados en la asociación de dos símbolos base (en el vídeo final se puede observar con detalle). Se trató de un sistema de numeración bastante adelantado para su época, incluso más evolucionado que el sistema romano (más moderno) y cuyo legado se puede apreciar en la distribución de los 60 segundos de un minuto, en los 60 minutos de una hora o en los 360 grados de un círculo, reminiscencias de este sistema de numeración.
HASTA QUE LLEGARON LOS ROMANOS
NUESTRA ACTUAL NUMERACIÓN, LA INDOARÁBICA
EL CURIOSO ORIGEN DEL CERO
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