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¿Existe algún número que no tenga nombre?

Si lees la frase “el número de días de julio”, ¿qué te viene a la cabeza? Posiblemente el número 31. ¿Y si te digo “el número de segundos que tiene un minuto”? Seguro que pensarás en el número 60. ¿Y si te pido que me describas al número 12? Pues podrías usar la frase “el número de meses del año”, o “las horas que aparecen en un reloj analógico”, o quizás “la cantidad de huevos que hay en una docena”. Hasta podrías hacerlo de forma más matemática, por ejemplo con la expresión “el resultado de multiplicar 3 por 4”.

Podemos encontrar frases para describir números naturales, pero también para negativos (“el cero absoluto” podría valer para describir al número -273), fraccionarios (“la probabilidad de sacar un número par al tirar un dado” describiría al número 1/2) y hasta irracionales (“el área de un círculo de radio 1” describe al número Pi).

Todas estas frases pueden servirnos para dar nombre a ciertos números, ya que cada una describe a un cierto número sin ningún género de duda (con la de “el resultado de multiplicar 3 por 4” podríamos debatir, pero nos entendemos). Y la cosa va de eso: de nombrar números.

Si convenimos que una frase cualquiera es un “nombre” para un cierto número si describe a dicho número sin ambigüedad, sería interesante preguntarse si todos los números tienen “nombre”. Y con "todos los números" nos referimos a todos los números reales, es decir, todos los naturales, los enteros negativos, el cero, los racionales y los irracionales (que son los que no pueden escribirse mediante una fracción con numerador y denominador enteros, como el número Pi).

¿Piensas que podrás? ¿O, por el contrario, crees que no se puede nombrar a todos los números reales? Si estás en este segundo grupo, dime un número que no se pueda nombrar, que no pueda describirse sin ambigüedad con una frase... ¡Exacto! En el momento en el que me comunicas dicho número ya lo estás describiendo sin ambigüedad mediante una frase, por lo que ya le has puesto nombre. Vamos, que no vas a ser capaz de encontrar ningún número sin nombre…

…Pero esto no significa que no existan. ¿O sí? Vamos a desvelar el misterio utilizando matemáticas que, aunque no son básicas, no serán muy complicadas de entender.

Una correspondencia entre dos conjuntos es una forma de asignar a cada elemento de uno de ellos un elemento del otro conjunto (nos quedaremos con las correspondencias en las que ningún elemento del primer conjunto se queda sin asignación). Esa correspondencia será biunívoca si a cada elemento de uno de los conjuntos le corresponde uno y sólo uno de los elementos del otro. Por ejemplo, asociar el 3 al pulgar, el 1 al índice, el 2 al corazón, el 5 al anular y el 4 al meñique es una correspondencia biunívoca entre los dedos de una mano y el conjunto de números {1,2,3,4,5}.

Por otro lado, un conjunto (infinito) de elementos cualesquiera es numerable si puede ponerse como correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales, es decir, con el conjunto {1,2,3,4,…} (no incluimos al cero, aunque si este número es o no un número natural suele generar interesantes debates).

Vayamos ahora al tema que nos ocupa. Podemos nombrar a cada número de muchas formas, pero cada frase que usemos para ese nombre tendrá, seguro, un número finito de letras (no podemos, por razones evidentes, utilizar frases con infinitas letras). Si tomamos todas las frases posibles y contamos cuántas letras (o símbolos, eso no es importante) tiene cada una, podemos formar una lista con esos números. Por ejemplo, supongamos que la primera frase que tomamos tiene 14 letras, la siguiente tiene 8, la siguiente tiene 46 y la siguiente de nuevo 8. Entonces nuestra lista comenzaría con {14,8,46,8} y, claro, seguiría con los números de letras de las siguientes frases. Entonces podemos asociar el 14 con el 1, el 8 con el 2, el 46 con el 3, el siguiente 8 con el 4, y continuar así con el resto de la lista. Esto es, asociamos cada número resultante de contar la cantidad de letras/símbolos de la frase con la posición que ocupa en la lista.

¿Qué conseguimos con esto? Pues, como muchos habréis visto ya, una correspondencia biunívoca entre todas las posibles frases que podemos usar para nombrar números y el conjunto de los números naturales. Es decir, el conjunto de los nombres de números es numerable.

Por otro lado, es bien sabido que el conjunto de los números reales no es numerable, hecho que probó Cantor a finales del siglo XIX (podéis ver demostraciones de este resultado aquí y también aquí).

El hecho de que el conjunto de los números reales sea no numerable significa, en relación con lo que nos ocupa, que al intentar poner dicho conjunto en correspondencia con los números naturales tenemos que hay números reales que no corresponden con ningún natural. Esto es, hay esencialmente más números reales que naturales. En consecuencia, hay esencialmente más números reales que nombres posibles podemos usar, por lo que hay número reales para los cuales no podemos encontrar un nombre.

Por tanto, la respuesta a la pregunta que titula este artículo es SÍ, existen números sin nombre (de hecho hay un conjunto infinito no numerable de ellos)…aunque, paradójicamente, no podremos encontrar ningún ejemplo de este tipo de números, ya que, como comentábamos antes, en el momento en el que lo describamos ya le estaremos dando nombre.

Es lo que tienen las demostraciones de existencia: nos dicen que algo está ahí, pero no nos ayudan a encontrarlo. Y, en casos como éste, hasta nos aseguran que no lo podremos encontrar.